题目内容

【题目】阅读下列材料: 如图1,圆的概念:在平面内,线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.就是说,到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上,圆心在P(a,b),半径为r的圆的方程可以写为:(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2 , 如:圆心在P(2,﹣1),半径为5的圆方程为:(x﹣2)2+(y+1)2=25

(1)填空: ①以A(3,0)为圆心,1为半径的圆的方程为
②以B(﹣1,﹣2)为圆心, 为半径的圆的方程为
(2)根据以上材料解决下列问题: 如图2,以B(﹣6,0)为圆心的圆与y轴相切于原点,C是⊙B上一点,连接OC,作BD⊥OC垂足为D,延长BD交y轴于点E,已知sin∠AOC=

①连接EC,证明EC是⊙B的切线;
②在BE上是否存在一点P,使PB=PC=PE=PO?若存在,求P点坐标,并写出以P为圆心,以PB为半径的⊙P的方程;若不存在,说明理由.

【答案】
(1)(x﹣3)2+y2=1;(x+1)2+(y+2)2=3
(2)①证明:∵BD⊥OC,

∴CD=OD,

∴BE垂直平分OC,

∴EO=EC,

∴∠EOC=∠ECO,

∵BO=BC,

∴∠BOC=∠BCO,

∴∠EOC+∠BOC=∠ECO+∠BCO,

∴∠BOE=∠BCE=90°,

∴BC⊥CE,

∴EC是⊙B的切线;

②存在.

∵∠BOE=∠BCE=90°,

∴点C和点O偶在以BE为直径的圆上,

∴当P点为BE的中点时,满足PB=PC=PE=PO,

∵B点坐标为(﹣6,0),

∴OB=6,

∵∠AOC+∠DOE=90°,∠DOE+∠BEO=90°,

∴∠BEO=∠AOC,

∴sin∠BEO=sin∠AOC=

在Rt△BOE中,sin∠BEO=

=

∴BE=10,

∴OE= =8,

∴E点坐标为(0,8),

∴线段AB的中点P的坐标为(﹣3,4),PB=5,

∴以P(﹣3,4)为圆心,以5为半径的⊙P的方程为(x+3)2+(y﹣4)2=25.


【解析】(1)解:①以A(3,0)为圆心,1为半径的圆的方程为(x﹣3)2+y2=1; ②以B(﹣1,﹣2)为圆心, 为半径的圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=3;
所以答案是(x﹣3)2+y2=1;(x+1)2+(y+2)2=3;
【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质和勾股定理的概念,需要了解等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角);直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案.

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