Question

【题目】点A，B的坐标分别为（-2,3）和（1,3），抛物线y=ax2+bx+c（a<0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c<3；②当x<-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形ACDB为平行四边形时， .其中正确的是（ ）

A. ②④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②④

Answer 1

【答案】A

【解析】∵点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），

∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），

又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），

∴c≤3，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误；

∵抛物线的顶点在线段AB上运动，

∴当x＜-2时，y随x的增大而增大，

因此，当x＜-3时，y随x的增大而增大，故②正确；

若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x=1，

根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为-2-4=-6，故③错误；

根据顶点坐标公式， =3，

令y=0，则ax2+bx+c=0，

CD2=（-）2-4×=，

根据顶点坐标公式， =3，

∴=-12，

∴CD2=×（-12）= ，

∵四边形ACDB为平行四边形，

∴CD=AB=1-（-2）=3，

∴=32=9，

解得a=-，故④正确；

综上所述，正确的结论有②④，

故选A．