题目内容

【题目】如图,△ABC是边长为5cm的等边三角形,点P,Q分别从顶点A,B同时出发,沿射线AB,BC运动,且它们的速度都为2cm/s.设点P的运动时间为t(s).

(1)当t为何值时,△ABQ≌△CBP.
(2)连接AQ、CP,相交于点M,则点P,Q在运动的过程中,∠CMQ会变化吗?若变化,则说明理由;若不变,请求出它的度数.

【答案】
(1)解:∵,△ABQ≌△CBP,

∴BQ=BP,

∴2t=5﹣2t,

∴t=

∴t= s时,△ABQ≌△CBP


(2)解:结论:∠CMQ=60°不变.

理由:∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA,

又∵点P、Q运动速度相同,

∴AP=BQ,

在△ABQ与△CAP中,

∴△ABQ≌△CAP(SAS).

∴∠BAQ=∠ACP,

∵∠QMC=∠ACP+∠MAC,

∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°


【解析】(1)根据等边三角形的性质,利用SAS证明△ABQ≌△CAP;(2)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP,从而得到∠CMQ=60°;
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质的相关知识点,需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能正确解答此题.

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