题目内容

【题目】如图,已知抛物线经过点A(1,0)B(3,0)C(0,3)三点。

(1)求抛物线的解析式。

(2)M是线段BC上的点(不与BC重合),过MMNy轴交抛物线于N若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长。

(3)在(2)的条件下,连接NBNC,是否存在m,使BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由。

【答案】(1)y=x2+2x+3(2) m2+3m0m3).(3) m=时,BNC的面积最大,最大值为

【解析】试题分析:1)利用待定系数法求二次函数的解析式;
2)先求直线BC的解析式,表示出MN两点的坐标,利用纵坐标的差计算MN的长即可;
3)根据面积公式得:SBNC=SCMN+SMNB=|MN||OB|OB的长是定值为3,所以MN的最大值即为面积的最大值,求MN所表示的二次函数的最值即可.

解:(1) ∵抛物线经过点A(1,0),B(3,0),C(0,3)三点,

∴设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x3)

C(0,3)代入得:3=a(0+1)(03)

a=1

∴抛物线的解析式:y=-x22x3

(2) 设直线BC的解析式为:y=kx+b

B(3,0),C(0,3)代入得:

解得:

∴直线BC的解析式为y=-x3

M(m,-m3)

又∵MNx轴,

N(m,-m22m3)

MN(m22m3)(m3)=-m23m(0m3)

(3)SBNCSCMNSMNB|MN|·|OB|

∴当|MN|最大时,BNC的面积最大,

MN=-m23m=-(m)2

所以当m时,BNC的面积最大为××3

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