题目内容

在1×3的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形,且每个小矩形的每条边与大矩形的一条边平行.
(Ⅰ)如图①放置时,两个小矩形周长和(两个小矩形重叠的边要重复计算)为  
(Ⅱ)怎样放置才能使两个小矩形周长和最大?在图②中画出图形,其最大值为  
  

试题分析:(Ⅰ)根据相似多边形对应边成比例列式求出小矩形的宽,然后根据周长公式进行计算即可得解;
(Ⅱ)根据放置方式的不同,分①两个小矩形都“竖放”时,与(Ⅰ)相同,②两个小矩形都“横放”,再分都横向放置,一上一下放置两种情况,先表示出一个矩形的长与宽,再根据大矩形是1×3的规格表示出另一个矩形的长与宽,然后根据矩形的周长公式列式整理,即可得解;③两个小矩形一个“横放”,一个“竖放”,先表示出一个矩形的长与宽,再表示出另一个矩形的长与宽,然后根据矩形的周长公式列式整理,然后根据大矩形是1×3的规格求出a的取值范围,再根据一次函数的增减性解答.
解:(Ⅰ)设小矩形的宽为x,
∵小矩形与大矩形相似,
=
解得x=
所以,两个小矩形周长和=2×2(1+)=
(Ⅱ)

两个矩形的放置方式情况有如下几种:
①两个小矩形都“竖放”,在这种放法下,周长和最大的两个小矩形边长分别为1和,周长和的最大值为

②两个小矩形都“横放”,

这时两个小矩形的周长和的最大值为:
2(a+3a)+2[1﹣a+3(1﹣a)]=8a+2(1﹣a+3﹣3a)=8a+8﹣8a=8;
③两个小矩形一个“横放”,一个“竖放”,这时两个小矩形的周长和为:
2(a+3a)+2(3﹣a+)=8a+6﹣2a+2﹣a=8+

因为0<3a≤1,即0<a≤
故当a=时,此时两个小矩形的周长和最大为8+=
故答案为:
点评:本题考查了相似多边形的性质,矩形的性质,主要利用了相似多边形对应边成比例的性质,(2)要根据放置方式的不同进行讨论求解.
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