Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，若顶点B的纵坐标为2，∠B＝60°，OC＝AC．

（1）请写出A、B、C三点的坐标；

（2）点P是斜边OB上的一个动点，则△PAC的周长的最小值为多少？

（3）若点P是OB的中点，点E在AO边上，将△OPE沿PE翻折，使得点O落在O'处，当O'E⊥AC时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得△BAQ≌△O′PE，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A（6，0）,点B（6，2 ），点C（2，0）；（2）△PAC周长的最小值为2+4．（3）当点Q在AB右侧，点Q（，），当点Q在AB左侧，点Q（，）

【解析】

（1）由直角三角形的性质可得OA=6，即可求点A、点B、点C坐标；

（2）作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案；

（3）由折叠的性质可得∠OEM=∠OE'M=45°，△OEP≌△O'EP，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．

（1）∵AB⊥OA，∠B＝60°，AB＝2，

∴OA＝AB＝6，

∴点B（6，2），点A（6，0）

∵OC＝AC，

∴OC＝2，AC＝4，

∴点C（2，0）；

（2）如图1，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，

∵DP＝PA，

∴PA+PC＝PD+PC＝CD，

∵AB＝2，OA＝6，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝4=4，

∴S△AOB=×OA×AB＝×OB×AM，

即×6×2＝×4×AM，

∴AM＝3，

∴AD＝2×3＝6，

∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAM＝30°，

∵∠BAO＝90°，

∴∠OAM＝60°，

∵DN⊥OA，

∴∠NDA＝30°，

∴AN＝AD＝3＝ON，

在Rt△AND中，由勾股定理得：DN=＝3，

∴CN＝ON﹣OC＝3﹣2＝1，

在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝＝＝2，

即PA+PC的最小值是2，

∴△PAC周长的最小值为：2+4；

（3）如图2，

∵点P是OB的中点，

∴OP＝2＝AB，

∵将△OPE沿PE翻折，且O'E⊥AC

∴∠OEM＝∠OE'M＝45°，△OEP≌△O'EP，

∴∠OPE＝∠OEM﹣∠AOB＝15°，

∵△BAQ≌△O′PE，

∴△BAQ≌△OPE，

∴∠ABQ＝30°，∠BAQ＝15°，

当点Q在AB右侧，过点Q作QH⊥AB，作∠AQF＝∠BAQ＝15°，

∴∠HFQ＝30°，AF＝FQ，

设HQ＝a，

∵∠ABQ＝30°＝∠HFQ，HQ⊥AB，

∴FQ＝2a，BH＝HF＝a，

∴AF＝2a，

∴AB＝2a+2a＝2，

∴a＝，

∴AH＝，

∴点Q（，）

当点Q在AB左侧，同理可求点Q（，）