题目内容
【题目】已知在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，M、N 分别是边 BC，CD 上的两个动点，∠MAN＝60°，AM、AN 分别交 BD 于 E、F 两点．
（1）如图 1，求证：CM＋CN＝BC；
（2）如图 2，过点 E 作 EG∥AN 交 DC 延长线于点 G，求证：EG＝EA；
（3）如图 3，若 AB＝1，∠AED＝45°，直接写出 EF 的长．
（4）如图 3，若 AB＝1，直接写出
BE＋AE的最小值
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EF＝
；（4）
【解析】
（1）由题意可得△ABC，△ACD都是等边三角形，然后求出∠BAM＝∠CAN，证明△BAM≌△CAN，得到BM＝CN，则CM＋CN＝CM＋BM＝BC；
（2）证明△ABE≌△CBE，得到AE＝EC，∠BAE＝∠BCE，然后求出∠AND＝∠CAN＋∠ACN＝60°＋∠CAN，∠ECG＝60°＋∠ECB，得到∠ECG＝∠AND＝∠G，进而得出EC＝EG即可解决问题；
（3）如图 3 中，将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 120°得到△ADQ，AC和BD交于点O，连接FQ，易证△AFE≌△AFQ，然后可求出∠FQD＝90°，∠QDF＝60°，根据含30度角直角三角形的性质设DQ＝BE＝x，DF＝2x，EF＝FQ＝
，再求出BD＝
，进而列方程求出x即可；
（4）如图4，过点E作EH⊥BC于H，过点A作AQ⊥BC于Q，则
BE＋AE＝EH＋AE，可得当A、E、H三点共线时，EH＋AE最小，此时EH＋AE＝AQ，然后求出AQ即可.
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵AB＝AC，∠B＝∠ACN＝60°，
∴△BAM≌△CAN，
∴BM＝CN，
∴CM＋CN＝CM＋BM＝BC；
（2）证明：如图 2 中，连接 EC．
∵BA＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝EC，∠BAE＝∠BCE，
∵EG∥AN，
∴∠G＝∠AND，
∵∠AND＝∠CAN＋∠ACN＝60°＋∠CAN，∠ECG＝60°＋∠ECB，
∵∠ECB＝∠BAE＝∠CAN，
∴∠ECG＝∠AND＝∠G，
∴EC＝EG，
∴EG＝EA；
（3）解：如图 3 中，将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 120°得到△ADQ，AC和BD交于点O，连接FQ，则∠MAN＝∠FAQ＝60°，
∵AE＝AQ，AF＝AF，
∴△AFE≌△AFQ，
∴∠AEF＝∠AQF＝45°，
∵∠AEB＝∠AQD＝135°，
∴∠FQD＝90°，
∵∠QDF＝∠ADQ＋∠ADF＝∠ABD＋∠ADF＝60°，
∴设DQ＝BE＝x，则DF＝2x，EF＝FQ＝，
∵AB＝AD＝1，∠ABD＝30°，
∴AO＝，BO＝，
∴BD＝2BO＝，
∴x＋2x＋＝，
∴x＝
，
∴EF＝＝；
（4）解：如图4，过点E作EH⊥BC于H，过点A作AQ⊥BC于Q，
∵∠EBH＝30°，
∴EH＝BE，
∴BE＋AE＝EH＋AE，
当A、E、H三点共线时，EH＋AE最小，此时EH＋AE＝AQ，
∵AB=1，∠ABQ＝60°，
∴BQ＝，
∴AQ＝，即BE＋AE的最小值为.
小学夺冠AB卷系列答案
