Question

如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G.

(1)求证：△BDG∽△DEG；
(2)若EG·BG＝4，求BE的长．

Answer 1

(1)见解析       (2)4

(1)证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，
∴∠FDC＝∠EBC，∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠EBC，∴∠FDC＝∠EBD，
∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG.
(2)解：∵△BCE≌△DCF，
∴∠F＝∠BEC，∠EBC＝∠FDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠EBC＝22.5°＝∠FDC，
∴∠BDF＝45°＋22.5°＝67.5°，
∠F＝90°－22.5°＝67.5°＝∠BDF，
∴BD＝BF，∵△BCE≌△DCF，
∴∠F＝∠BEC＝67.5°＝∠DEG，
∴∠DGB＝180°－22.5°－67.5°＝90°，
即BG⊥DF，∵BD＝BF，∴DF＝2DG，
∵△BDG∽△DEG，BG·EG＝4，
∴＝，
∴BG·EG＝DG·DG＝4，
∴DG＝2，∴BE＝DF＝2DG＝4.