题目内容

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=a，AD=b，点E、F分别是两腰AB、CD上的点，且EF∥AD，设AE=d₁、BE=d₂，
研究、发现：
（1）当 $数学公式$ 时，有EF= $数学公式$ ；
当 $数学公式$ 时，有EF= $数学公式$ ；
当 $数学公式$ 时，有EF= $数学公式$ ；
（2）当 $数学公式$ 时，有EF= $数学公式$ ；当 $数学公式$ 时，有EF= $数学公式$ ；
当 $数学公式$ 时，有 $数学公式$ ．
填空：①当 $数学公式$ 时，有EF=；当 $数学公式$ 时，EF=．
猜想、证明
② $数学公式$ 时，分别能得到什么结论（其中m、n均为正整数）并证明你的结论；
③进一步猜想当 $数学公式$ 时，有何结论（其中m、n均为正整数）写出你的结论．
解决问题
（3）如图2，有一块梯形木框ABCD，AD∥BC，AD=1米，BC=3米，AB=5米，要在中间加两个横档．操作如下：在AD上取两点E、F，使AE=2米，EF=1.5米，分别从E、F两处做与两底平行的横档EM、FN，求需要木条的总长．

解：（1）当 $\text{[math]}$ 时，EF= $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时，EF= $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时，EF= $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，EF= $\text{[math]}$ ．
证明：作AG∥CD交BC于点G，交EF于点H，
∵EF∥BC，
∴△AEH∽△ABG．
因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．

（2）当 $\text{[math]}$ 时，EF= $\text{[math]}$ ．

（3）因为AE：BE=2：3，由（2）中的结论可得：
EM= $\text{[math]}$ （米）
由于AF：BF=3.5：1.5=7：3，
由（2）中的结论可得：
FN= $\text{[math]}$ （米）
故两木条的总长度是1.8+2.4=4.2（米）．
分析：①根据上述具体式子，即可发现规律，写出结论；
②首先根据具体式子，发现规律，写出结论；作平行线，构造一个平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质进行求解；
③综合上述结论，即可猜想到EF的结果；
④利用上述结论，求得EM和FN的长．
点评：此题综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质，进行探索结论．能够根据探索的结论进行有关的计算．