题目内容

【题目】如图,边长为2的正方形ABCD的顶点AB在一个半径为2的圆上, 顶点CD在圆内,将正方形ABCD沿圆的内壁作无滑动的滚动当滚动一周回到原位置时,点C运动的路径长为__ _

【答案】.

【解析】因为正方形的边长为2,圆的半径为2,正方形ABCD沿圆的内壁作无滑动的滚动当滚动一周回到原位置时,正方形总共转动了6次,点C运动的路径是以AC为半径,旋转两次的弧长和以正方形的边长为半径旋转3次的弧长的和(还有一次点C在圆上,为旋转直中心),

如图,分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′;

∵OA=OB=AB,

∴△OAB是等边三角形,

∴∠OAB=60°;

同理可证:∠OAD′=60°,

∴∠D′AB=120°;

∵∠D′AB′=90°,

∴∠BAB′=120°-90°=30°,

由旋转变换的性质可知∠C′AC=∠B′AB=30°;

∵四边形ABCD为正方形,且边长为2,

∴∠ABC=90°,AC=

∴当点D第一次落在圆上时,点C运动的路线长为:

由上面的计算过程可知,每次的旋转角都为30°,

所以,点C运动的路径为:.

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