题目内容

【题目】如图所示,在ABC中,DE分别是边ABBC上的动点,且,连结ADAE,点MNP分别是CDAEAC的中点,设

1)观察猜想

①在求的值时,小明运用从特殊到一般的方法,先令,解题思路如下:

如图1,先由,得到,再由中位线的性质得到

,进而得出PMN为等边三角形,∴

②如图2,当,仿照小明的思路求的值;

2)探究证明

如图3,试猜想的值是否与的度数有关,若有关,请用含的式子表示出,若无关,请说明理由;

3)拓展应用

如图4,点DE分别是射线ABCB上的动点,且,点MNP分别是线段CDAEAC的中点,当时,请直接写出MN的长.

【答案】1)②;(2的值与的度数有关,;(3MN的长为

【解析】

1)②先根据线段的和差求出,再根据中位线定理、平行线的性质得出,从而可得出,然后根据等腰直角三角形的性质即可得;

2)参照题(1)的方法,得出为等腰三角形和的度数,再利用等腰三角形的性质即可求出答案;

3)分两种情况:当点DE分别是边ABCB上的动点时和当点DE分别是边ABCB的延长线上的动点时,如图(见解析),先利用等腰三角形的性质与判定得出,再根据相似三角形的判定与性质得出BCCE的长,由根据等腰三角形的三线合一性得出,从而可得的值,最后分别利用(2)的结论即可得MN的长.

1)②

为等腰直角三角形,

∵点MNP分别是CDAEAC的中点

为等腰直角三角形,

2的值与的度数有关,求解过程如下:

由(1)可知,,即为等腰三角形

如图5,作

中,,即

3)依题意,分以下两种情况:

①当点DE分别是边ABCB上的动点时

如图6,作的角平分线交AB边于点F,并连结BP

,即

,则

解得(不符题意,舍去)

由(2)可知,

PAC上的中点

(等腰三角形的三线合一)

中,,即

②如图7,当点DE分别是边ABCB的延长线上的动点时

同理可得:

综上,MN的长为

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