题目内容
【题目】如图所示,在△ABC中,,D、E分别是边AB、BC上的动点,且
,连结AD、AE,点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点,设
.
(1)观察猜想
①在求的值时,小明运用从特殊到一般的方法,先令
,解题思路如下:
如图1,先由,得到
,再由中位线的性质得到
,
,进而得出△PMN为等边三角形,∴
.
②如图2,当,仿照小明的思路求
的值;
(2)探究证明
如图3,试猜想的值是否与
的度数有关,若有关,请用含
的式子表示出
,若无关,请说明理由;
(3)拓展应用
如图4,,点D、E分别是射线AB、CB上的动点,且
,点M、N、P分别是线段CD、AE、AC的中点,当
时,请直接写出MN的长.
【答案】(1)②;(2)
的值与
的度数有关,
;(3)MN的长为
或
.
【解析】
(1)②先根据线段的和差求出,再根据中位线定理、平行线的性质得出
,从而可得出
,然后根据等腰直角三角形的性质即可得;
(2)参照题(1)的方法,得出为等腰三角形和
的度数,再利用等腰三角形的性质即可求出答案;
(3)分两种情况:当点D、E分别是边AB、CB上的动点时和当点D、E分别是边AB、CB的延长线上的动点时,如图(见解析),先利用等腰三角形的性质与判定得出,再根据相似三角形的判定与性质得出BC、CE的长,由根据等腰三角形的三线合一性得出
,从而可得
的值,最后分别利用(2)的结论即可得MN的长.
(1)②
∴
∴为等腰直角三角形,
∵点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点
∴
∴为等腰直角三角形,
∴
即;
(2)的值与
的度数有关,求解过程如下:
由(1)可知,,即
为等腰三角形
如图5,作
则
在中,
,即
则;
(3)依题意,分以下两种情况:
①当点D、E分别是边AB、CB上的动点时
如图6,作的角平分线交AB边于点F,并连结BP
,
,即
设,则
解得或
(不符题意,舍去)
即
由(2)可知,
点P是AC上的中点
,
(等腰三角形的三线合一)
在中,
,即
②如图7,当点D、E分别是边AB、CB的延长线上的动点时
同理可得:
综上,MN的长为或
.

【题目】在数学活动课上,老师提出了一个问题:把一副三角尺如图摆放,直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行,60°角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动,在这个运动过程中,有哪些变量,能研究它们之间的关系吗?
小林选择了其中一对变量,根据学习函数的经验,对它们之间的关系进行了探究.
下面是小林的探究过程,请补充完整:
(1)画出几何图形,明确条件和探究对象;
如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,D是线段AB上一动点,射线DE⊥BC于点E,∠EDF=60°,射线DF与射线AC交于点F.设B,E两点间的距离为xcm,E,F两点间的距离为ycm.
(2)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y/cm | 6.9 | 5.3 | 4.0 | 3.3 | 4.5 | 6 |
(说明:补全表格时相关数据保留一位小数)
(3)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(4)结合画出的函数图象,解决问题:当△DEF为等边三角形时,BE的长度约为 cm.