Question

【题目】如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长，交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠PCF=90°，CD∥AB，
∵P为CD的中点，CD=AB=BC=2，
∴CP=1，
∵PC∥AB，
∴△FCP∽△FBA，
∵CP=1，AB=BC=2，
∴ = ，
∴ = ，
∴BF=4，
∴CF=4﹣2=2，
由勾股定理得：BP= = ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCP=∠PCF=90°，
∴PF是直径，
∴∠E=90°=∠BCP，
∵∠PBC=∠EBF，
∴△BCP∽△BEF，
∴ ，
∴ = ，
∴EF= ，
故选：D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形，以及对圆周角定理的理解，了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．