题目内容

阅读:我们知道,在数轴上x=1表示一个点,而平面直角坐标系中,x=1表示一条直线;我们还知道,以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象,它也是一条直线,如图①.观察图①可以得出:直线x=1与直线y=2x+1的交P的坐标(1,3)就是方程组
x=1
2x-y+1=0
的解,所以这个方程组的解是
x=1
y=3
在直角坐标系中,x≤1表示一个平面区域,即直线x=1以及它的左侧部分,如图②;y≤2x+1也表示一个平面区域,即直线y=2x+1以及它的右下方的部分,如图③.
回答下列问题:
(1)在直角坐标系(图④)中,用作图象的方法求出方程组
x=-2
y=-2x+2
的解;
(2)用阴影部分表示不等式组
x≥-2
y≤-2x+2
y≥0
所围成的平面区域,并求围成区域的面积;
(3)现有一直角三角形(其中∠A=90°,AB=2,AC=4)小车沿x轴自左向右运动,当点A到达何位置时,小车被阴影部分挡住的面积最大?
(1)如图,由图象可得方程组的解是
x=-2
y=6


(2)不等式组
x≥-2
y≤-2x+2
y≥0
所围成的平面区域如图所示;
阴影部分的面积是
1
2
×6×3=9


(3)由题意,BC所在直线与二元一次方程2x+y-2=0所表示的直线垂直.
设小车沿x轴自左向右运动,当点A的坐标为(a,0)时,小车被阴影部分挡住的面积最大.分五种情况:
①当-2≤a≤0时,此时点A与原点重合时,小车被挡住的面积最大为
(1+2)×2
2
=3

②当0≤a≤1时,此时被挡住的面积为:
S=
1
2
10-2a
5
10-2a
2
5
-
2(1-a)(1-a)
2
-
(a-2)2
4
=
(a-5)2
5
-(a-1)2-
(a-2)2
4
=
-21a2+20a+60
20

∴当a=
10
21
Smax=
68
21

③当1≤a≤2时,此时被挡住的面积为:
S=
1
2
10-2a
5
-
10-2a
2
5
-
(a-2)2
4
=
(a-5)2
5
-
(a-2)2
4
=
-a2-20a+80
20

∴当a=1时Smax=
59
20

④当2≤a≤5时,此时点A与点(2,0)重合时,小车被挡住的面积最大为
9
5

⑤当a<-2或a>5时,小车与阴影无公共部分.
综上所述,当点A的坐标为(
10
21
,0)
时,小车被挡住的面积最大为
68
21
.(12分)
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