Question

【题目】如图，抛物线 的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3）,点D在x轴正半轴上，线段OD=OC.

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得△CDM是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，连接QE.若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线的解析式为 ，
将C（0，1）代入得： ，
解得: ,
∴抛物线的解析式为： 即
（2）解: ①如图1，当点C为直角顶点时，

∵点C的坐标为（0，1），
∴OD=OC=1，
∴点D的坐标为（1，0），
设直线CD为 ，则： ，解答 ，
∴直线CD的解析式为： ，
∵此时CM⊥CD，
∴CM的解析式为： ，
由： ，解得： ， ，
∵点（0，1）与点C重合，
∴点M的坐标为（2，3），此时点M与点Q重合；
②如图②，当D为直角顶点时，由①可得直线DM的解析式为 ，

由： ,解得： ， ，
∴点Ｍ的坐标为为 或 ；
综上所述，符合题意的Ｍ有三点，分别是(2 , 3 )， 或 .
（3）解：存在．如图③所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．

如答图④所示，连接C′E，

由（2）可知，QC⊥CD， 由题意可得：QC=QE，
∵∠DCE=45°，
∴∠QCE=45°=∠QEC，
∴△QCE是等腰直角三角形，
∵C，C′关于直线QE对称，
∴△QC′E为等腰直角三角形，
∴△CEC′为等腰直角三角形，
∵在抛物线 中，由 解得 ，
∴点E的坐标为（4，1），
∴CE=4=C′E，
∴点C′的坐标为（4，5）；
∵C，C″关于x轴对称，
∴点C″的坐标为（0，﹣1）．
∴OC″=1，
过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=CE=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″= ．
综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为 ．
【解析】（1）解析式可设为顶点式，再把C（0，1）代入解析式即可；（2）以CD为直角边的直角三角形分为两类，分别以C、D为直角顶点，可过C、D分别作CD的垂线，与抛物线相交，联立直线和抛物线解析式组成方程组，可求出M坐标；（3）可利用对称法作出C关于定直线QE的对称点C'，关于y轴对称点为C",把△PCF的周长转化为FC"+FP+PC',当C"、F、P、C'四点共线时，周长最小.