Question

如图1，已知有一张三角形纸片ABC的一边AB=10，若D为AB边上的点，过点D作DE∥BC交AC于点E，分别过点D、E作DF⊥BC于F，EG⊥BC于G，把三角形纸片ABC分别沿DE、DF、EG按图1方式折叠，点A、B、C分别落在A′、B′、C′处．若点A′、B′、C′在矩形DFGE内或者其边上，且互不重合，此时我们称△A′B′C′（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
实践探究：
（1）当AD=4时，
①若∠A=90°，AB=AC，请在图2中画出“重叠三角形”，S△A′B′C′=    ；
②若AB=AC，BC=12，如图3，S△A′B′C′=    ；
③若∠B=30°，∠C=45°，如图4，S△A′B′C′=    .
（2）若△ABC为等边三角形（如图5），AD=m，且重叠三角形A′B′C′存在，试用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′ 的面积，并写出m的取值范围.

Answer 1

（1）①2；②；③；（2）.

试题分析：（1）仔细分析题意，根据“重叠三角形”的定义结合三角形的面积公式求解即可；
（2）由AD=m可得A´D=AD=m，B´D=BD=10-m，则可得A´B´=10-2m，先证得△A´B´C´为等边三角形，根据三角形的面积公式可表示出△A´B´C´的面积，由B´C´＞0 结合B´C´≤FG 即可得到关于m的不等式组，从而求得结果.
试题解析：（1）由题意得①2；②；③；
（2）∵A’D=AD=m，B’D=BD=10－m，
∴ A’B’=10－2m
可证△A’B’C’等边三角形，
∴S_{△A′B′C′}= (10－2m)²= (5－m)²
由B’C’＞0，得
10－2m＞0，
∴m＜5
由B’C’≤FG，得
10－2m≤m ，
∴m≥ 
∴m的取值范围为≤m＜5