题目内容

(1)如图1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
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∠ABC(0°<∠CBE<∠
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ABC).以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针旋转∠ABC,得到△BE′A(点C与点A重合,点E到点E′处)连接DE′,
求证:DE′=DE.
(2)如图2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
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∠ABC(0°<∠CBE<45°).
求证:DE2=AD2+EC2
(1)证明:∵∠DBE=
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∠ABC,
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=
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∠ABC,
∵△ABE′由△CBE旋转而成,
∴BE=BE′,∠ABE′=∠CBE,
∴∠DBE′=∠DBE,
在△DBE与△DBE′中,
BE=BE′
∠DBE=∠DBE′
BD=BD

∴△DBE≌△DBE′,
∴DE′=DE;

(2)证明:如图所示:把△CBE逆时针旋转90°,连接DE′,
∵BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠BCE=45°,
∴图形旋转后点C与点A重合,CE与AE′重合,
∴AE′=EC,
∴∠E′AB=∠BCE=45°,
∴∠DAE′=90°,
在Rt△ADE′中,DE′2=AE′2+AD2
∵AE′=EC,
∴DE′2=EC2+AD2
同(1)可得DE=DE′,
∴DE′2=AD2+EC2
∴DE2=AD2+EC2
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