题目内容
如图,P为正方形ABCD边BC上一点,F在AP上,AF=AD,EF⊥AP于F交CD于点E,G为CB延长线上一点,且BG=DE.
(1)求证:∠BAG=
∠DAP;
(2)若DE=3,AD=5,求AP的长.
(1)求证:∠BAG=
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(2)若DE=3,AD=5,求AP的长.
考点:正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理
专题:
分析:(1)连接AE,由正方形的性质及其条件可以得出△ABG≌△ADE,就有∠BAG=∠DAE,再证明Rt△AFE≌Rt△ADE就可以得出结论;
(2)由条件可以得出∠GAP=∠BAE,进而可以得出∠GAP=∠BGA,在Rt△ABP中,由勾股定理就可以得出结论.
(2)由条件可以得出∠GAP=∠BAE,进而可以得出∠GAP=∠BGA,在Rt△ABP中,由勾股定理就可以得出结论.
解答:(1)证明:连接AE
∵正方形ABCD,
∴AB=AD,∠ABG=∠ADC=90°.
在△ABG和△ADE中
∴△ABG≌△ADE(SAS),
∴∠BAG=∠DAE.
在Rt△AFE和Rt△ADE中,
,
∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL),
∴∠DAE=∠FAE,
∴∠BAG=∠DAE=
∠DAP;
(2)解:∵∠BAG=∠DAE=∠FAE,
∴∠BAG+∠BAP=∠FAE+∠BAP,
∴∠GAP=∠BAE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,
∴∠BAE=∠DEA,
∴∠GAP=∠DEA.
∵△ABG≌△ADE,
∴∠BGA=∠DEA,BG=DE,
∴∠GAP=∠BGA,
∴AP=GP
设AP=x,则GP=x,BP=GP-BG=x-3
在Rt△BAP中AB2+BP2=AP2,
∴52+(x-3)2=x2,
解得:x=
,
答:AP的长为
.
∵正方形ABCD,
∴AB=AD,∠ABG=∠ADC=90°.
在△ABG和△ADE中
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∴△ABG≌△ADE(SAS),
∴∠BAG=∠DAE.
在Rt△AFE和Rt△ADE中,
|
∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL),
∴∠DAE=∠FAE,
∴∠BAG=∠DAE=
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2 |
(2)解:∵∠BAG=∠DAE=∠FAE,
∴∠BAG+∠BAP=∠FAE+∠BAP,
∴∠GAP=∠BAE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,
∴∠BAE=∠DEA,
∴∠GAP=∠DEA.
∵△ABG≌△ADE,
∴∠BGA=∠DEA,BG=DE,
∴∠GAP=∠BGA,
∴AP=GP
设AP=x,则GP=x,BP=GP-BG=x-3
在Rt△BAP中AB2+BP2=AP2,
∴52+(x-3)2=x2,
解得:x=
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答:AP的长为
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点评:本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定与性质的运用,勾股定理的运用,等腰三角形的判定与性质的运用,解答时运用勾股定理求值和证明三角形全等是关键.
练习册系列答案
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如图,在平面直角坐标系中,A点坐标为(-4,3),将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′,则点A′的坐标是( )
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