Question

如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E。

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD:DB=3:2，AC=15，求⊙O的直径。

Answer 1

（1）连接OD、CD，先根据切线的性质得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根据圆周角定理可得∠BDC=90°，再结合E为AC的中点，根据直角三角形的性质可得DE=CE=AE=AC，即得∠2=∠3，根据元的基本性质可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，从而证得结论；（2）

试题分析：（1）连接OD、CD，先根据切线的性质得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根据圆周角定理可得∠BDC=90°，再结合E为AC的中点，根据直角三角形的性质可得DE=CE=AE=AC，即得∠2=∠3，根据元的基本性质可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，从而证得结论；  
（2）分别证得△ACD∽△ABC与△ACD∽△BCD，根据相似三角形的性质可得，，由AD:DB=3:2可设AD=3k，DB=2k，则AB=5k，即可求得结果.
（1）连接OD、CD

∵DE是⊙O的切线，切点为D
∴OD⊥DE于D
∴∠ODE=90°，即∠1+∠2=90°；
∵BC为⊙O的直径
∴∠BDC=90°
∴∠ADC=90°
∵E为AC的中点
∴DE=CE=AE=AC
∴∠2=∠3
∵⊙O中，OC=OD
∴∠1=∠4
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°
∴OC⊥AC于C
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵∠ACD=∠BDC=90°，∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
同理：△ACD∽△BCD
∴①
②
∵AD:DB=3:2
∴设AD=3k，DB=2k，则AB=5k
∴①


②

∴.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．