Question

课本回顾
如图，用半径R＝3cm，r＝2cm的钢球测量口小内大的内孔的直径D．测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为a＝4cm，b＝2cm，则内孔直径D的大小为     ．
问题拓展
如图，在矩形ABCD内，已知⊙O₁与⊙O₂互相外切，且⊙O₁与边AD、DC相切，⊙O₂与边AB、BC相切．若AB＝4，BC＝3，⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r，R．求O₁O₂的值．
灵活运用
如图，某市民广场是半径为60米，圆心角为90°的扇形AOB，广场中两个活动场所是圆心在OA、OB上，且与扇形OAB内切的半圆☉O_1、☉O₂，其余为花圃．若这两个半圆相外切，试计算当两半圆半径之和为50米时活动场地的面积.

Answer 1

(1)9cm；（2）7-2；（3）650π平方米．

试题分析：（1）利用相切两圆的性质得出AB=5cm，再利用已知得出BC的长，由勾股定理求出AC的长，即可得出EF的长；
（2）连接O₁、O₂，并分别过O₁、O₂作AB、BC的平行线，则O₁O₂²=O₁ E²+O₂E²，进而求出R+r的值即可；
（3）当两圆半径之和为50米时，有O₁O=60-r，O₂O=60-R，O₁O₂=50，则（60-r）²+（60-R）²=50²，即可得出R²+r²，进而利用圆的面积公式求出即可．
（1）如图1，

∵半径R=3cm，r=2cm，a=4cm，b=2cm，
∴AB=5cm，BC=3+4-4=3（cm），
∴AC=4cm，
∴D=EF=AF+EC+AC=3+4+2=9（cm）.
（2）如图2，连接O₁、O₂，并分别过O₁、O₂作AB、BC的平行线．
则O₁O₂²=O₁ E²+O₂E²．
即（R+r）²=[4-（R+r）]²+[3-（R+r）]²
化简得：（R+r）²-14（R+r）+25=0，
解得：O₁O₂=r+R=7-2或7+2（不合题意舍去）；
（3）当两圆半径之和为50米时，
有O₁O=60-r，O₂O=60-R，O₁O₂=50，
则（60-r）²+（60-R）²=50²．
即R²+r²-120（R+r）+4700=0．
∴R²+r²=1300．
∴活动场所面积=πR²+πr²=π•1300=650π（平方米）．