Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．
（1）求证：∠ACM=∠ABC；
（2）延长BC到D，使BC = CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED = 2,求∆ACE的外接圆的半径．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）连接OC，根据圆周角定理、切线的性质和等腰三角形等边对等角的性质，应用角的转换即可证得结论.
（2）由已知可得OC是△ABC的中位线，从而可得ΔAEC是直角三角形，即AEC的外接圆的直径为AC，通过证明ΔABC∽ΔCDE求得BC的长，在RtΔABC中应用勾股定理求出AC的长，从而得到∆ACE的外接圆的半径．
试题解析：（1）如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB =" 90°." ∴∠ABC＋∠BAC= 90°.
又∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM. ∴∠ACM＋∠ACO=" 90°" .
∵CO = AO，∴∠BAC =∠ACO. ∴∠ACM =∠ABC.

（2）∵BC = CD，BO = OA，∴OC∥AD.
又∵OC⊥CE. ∴AD⊥CE. ∴ΔAEC是直角三角形. ∴ΔAEC的外接圆的直径为AC.
又∵∠ABC＋∠BAC= 90°，∠ACM＋∠ECD = 90°，∠ABC =∠ACM，∴∠BAC =∠ECD.
又∵∠CED =∠ACB = 90°，∴ΔABC∽ΔCDE. ∴.
∵⊙O的半径为3，ED = 2，∴AB = 6.∴，解得.
∴在RtΔABC中，.
∴ ΔAEC的外接圆的半径为.