Question

【题目】如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）若CE=12，CF=5，求OC的长；

（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；

（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）四边形BCFE不可能是菱形．理由见解析；（3）当点O运动到AC等中点，且∠ACB=90°时四边形AECF是正方形．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）如图1中，先证明∠ECF=90°，再证明OC=OE=OF，利用勾股定理即可解决．

（2）如图2中，根据直角三角形的斜边大于直角边即可判断EF＞CF，由此即可判断．

（3）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明是矩形，最后证明是正方形即可．

试题解析：（1）如图1中，∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD，

∴∠ACE=∠ECB=∠ACB，∠ACF=∠FCD=∠ACD，

∴∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACD）=90°，

∴∠ECF=90°，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB=∠OCE，∠OFC=∠FCD=∠FCO，

∴EO=OC=FO，

在RT△ECF中，∵∠ECF=90°，EC=12，CF=5，

∴EF=，

∴OC=EF=．

（2）如图2中，四边形BCFE不可能是菱形．

由（1）可知∠ECF=90°，

∴EF＞CF，

∴四边形BCFE不可能是菱形．

（3）如图3中，当点O运动到AC等中点，且∠ACB=90°时四边形AECF是正方形．

证明：由（1）可知OC=OE=OF，

∵OA=OC，OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC=EF，

∴四边形AECF是矩形，

∵MN∥BC，

∵∠AOE=∠ACB=90°，

∴EO⊥AC，∵OA=OC，

∴EA=EC，

∴四边形AECF是正方形．