题目内容
如图,已知O为坐标原点,∠AOB=30°,∠ABO=90°,且点A的坐标为(2,0).(1)求点B的坐标;
(2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点,求此二次函数的解析式;
(3)在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上,是否存在一点C,使得四边形ABCO的面积最大?若存在,求出这个最大值及此时点C的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)在Rt△OAB中,由∠AOB=30°可以得到OB=
,过点B作BD垂直于x轴,垂足为D,利用已知条件可以求出OD,BD,也就求出B的坐标;
(2)根据待定系数法把A,B,O三点坐标代入函数解析式中就可以求出解析式;
(3)设存在点C(x,-
x2+
x),使四边形ABCO面积最大,而△OAB面积为定值,只要△OBC面积最大,四边形ABCO面积就最大.过点C作x轴的垂线CE,垂足为E,交OB于点F,则S△OBC=S△OCF+S△BCF=
|CF|•|OE|+
|CF|•|ED|=
|CF|•|OD|=
|CF|,而|CF|=yC-yF=-
x2+
x-
x=-
x2+
x,这样可以得到S△OBC=-
x2+
x,利用二次函数就可以求出△OBC面积最大值,也可以求出C的坐标.
3 |
(2)根据待定系数法把A,B,O三点坐标代入函数解析式中就可以求出解析式;
(3)设存在点C(x,-
2
| ||
3 |
4
| ||
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
2
| ||
3 |
4
| ||
3 |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
3 |
| ||
2 |
3
| ||
4 |
解答:解:(1)在Rt△OAB中,
∵∠AOB=30°,
∴OB=
,
过点B作BD垂直于x轴,垂足为D,则OD=
,BD=
,
∴点B的坐标为(
,
).(1分)
(2)将A(2,0)、B(
,
)、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c,
得
(2分)
解方程组,有a=-
,b=
,c=0.(3分)
∴所求二次函数解析式是y=-
x2+
x.(4分)
(3)设存在点C(x,-
x2+
x)(其中0<x<
),使四边形ABCO面积最大
∵△OAB面积为定值,
∴只要△OBC面积最大,四边形ABCO面积就最大.(5分)
过点C作x轴的垂线CE,垂足为E,交OB于点F,
则S△OBC=S△OCF+S△BCF=
|CF|•|OE|+
|CF|•|ED|=
|CF|•|OD|=
|CF|,(6分)
而|CF|=yC-yF=-
x2+
x-
x=-
x2+
x,
∴S△OBC=-
x2+
x.(7分)
∴当x=
时,△OBC面积最大,最大面积为
.(8分)
此时,点C坐标为(
,
),四边形ABCO的面积为
.(9分)
∵∠AOB=30°,
∴OB=
3 |
过点B作BD垂直于x轴,垂足为D,则OD=
3 |
2 |
| ||
2 |
∴点B的坐标为(
3 |
2 |
| ||
2 |
(2)将A(2,0)、B(
3 |
2 |
| ||
2 |
得
|
解方程组,有a=-
2
| ||
3 |
4
| ||
3 |
∴所求二次函数解析式是y=-
2
| ||
3 |
4
| ||
3 |
(3)设存在点C(x,-
2
| ||
3 |
4
| ||
3 |
3 |
2 |
∵△OAB面积为定值,
∴只要△OBC面积最大,四边形ABCO面积就最大.(5分)
过点C作x轴的垂线CE,垂足为E,交OB于点F,
则S△OBC=S△OCF+S△BCF=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
而|CF|=yC-yF=-
2
| ||
3 |
4
| ||
3 |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
3 |
∴S△OBC=-
| ||
2 |
3
| ||
4 |
∴当x=
3 |
4 |
9
| ||
32 |
此时,点C坐标为(
3 |
4 |
5
| ||
8 |
25
| ||
32 |
点评:本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图形变换、解直角三角形、利用二次函数探究不规则图形的面积最大值重要知识点,综合性强,能力要求极高.考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
练习册系列答案
相关题目