题目内容
【题目】如图,在四边形ABCD中,∠D=∠BCD=90°,∠B=60°,AB=6,AD=9,点E是CD上的一个动点(E不与D重合),过点E作EF∥AC,交AD于点F(当E运动到C时,EF与AC重合),把△DEF沿着EF对折,点D的对应点是点G.设DE=x,△GEF与四边形ABCD重叠部分的面积为y.
(1)求CD的长及∠1的度数;
(2)若点G恰好在BC上,求此时x的值;
(3)求y与x之间的函数关系式,并求x为何值时,y的值最大?最大值是多少?
【答案】
(1)
解:如图1,
过点A作AH⊥BC于点H,
∵在Rt△AHB中,AB=6,∠B=60°,
∴AH=ABsinB=6× =3 ,
∵∠D=∠BCD=90°,
∴四边形AHCD为矩形,
∴CD=AH=3 ,
∵ ,
∴∠CAD=30°,
∵EF∥AC,
∴∠1=∠CAD=30°
(2)
解:若点G恰好在BC上,如图2,
由对折的对称性可知Rt△FGE≌Rt△FDE,
∴GE=DE=x,∠FEG=∠FED=60°,
∴∠GEC=60°,
∵△CEG是直角三角形,
∴∠EGC=30°,
∴在Rt△CEG中,EC= EG= x,
由DE+EC=CD 得 ,
∴x=2
(3)
解:分两种情形:
第一种情形:当 时,如图3,
在Rt△DEF中,tan∠1=tan30°= ,
∴DF=x÷ = x,
∴y=S△EGF=S△EDF= = = ,
∵ >0,对称轴为y轴,
∴当 ,y随x的增大而增大,
∴当x=2 时,y最大值= × =6 ;
第二种情形:当2 <x≤3
设FG,EG分别交BC于点M、N,
(法一)∵DE=x,
∴EC= ,NE=2 ,
∴NG=GE﹣NE= = ,
又∵∠MNG=∠ENC=30°,∠G=90°,
∴MG=NGtan30°= ,
∴ =
∴y=S△EGF﹣S△MNG= =
∵ ,对称轴为直线 ,
∴当2 <x≤3 时,y有最大值,且y随x的增大而增大,
∴当 时, =9 ,
综合两种情形:由于6 <9 ;
∴当 时,y的值最大,y的最大值为9 .
【解析】(1)如图1,作辅助线AH⊥BC,AH的长就是CD的长,根据直角三角形中的特殊三角函数值可以求AH的长,即CD=AH=3 ,在直角△ACD中,求∠CAD=30°,由平行线的同位角相等可以得∠1=∠CAD=30°;(2)如图2,由对折得:Rt△FGE≌Rt△FDE,则GE=DE=x,∠FEG=∠FED=60°,从而求得直角△GEC中,EC= x,根据DE+EC=CD 列式可求得x的值(3)分两种情形:
第一种情形:当 时,如图3,△GEF完全在四边形内部分,重叠部分面积就是△GEF的面积;
第二种情形:当2 <x≤3 时,如图4,重叠部分是△GEF的面积﹣△MNG的面积,所以要根据特殊的三角函数值求MG、NG的长,代入面积公式即可.
再根据两种情形的最大值作对比得出结果.