题目内容

【题目】如图,在边长为6的正方形ABCD,EAB边上一点,GAD延长线上一点,BE=DG,连接EG,过点CEG的垂线CH,垂足为点H,连接BH,BH=8.有下列结论:

①∠CBH=45°;②点HEG的中点;EG=4;DG=2.

其中,正确结论的个数是(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】分析:连接CG,作HF⊥BC于F,HO⊥AB于O,证明△CBE≌△CDG,得到△ECG是等腰直角三角形,证明∠GEC=45°,根据四点共圆证明①正确;根据等腰三角形三线合一证明②正确;根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出EG的长,得到③正确;求出BE的长,根据DG=BE,求出BE证明④正确.

详解:连接CG,CE,作HF⊥BC于F,HO⊥AB于O.

在△CBE和△CDG中,

∴△CBE≌△CDG,

∴EC=GC,∠GCD=∠ECB.

∵∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°,

∴∠DCG+∠ECD=∠ECG=90°,

∴△ECG是等腰直角三角形,∴∠CEH=45°.

∵∠EHC=90°,∠CEH=45°,∴△CEH是等腰直角三角形,∴EH=CH,易证△OHE≌△FHC,∴OH=FH,

又∵∠ABC=∠HOB=∠HFB=90°,

∴四边形OBFH是正方形,

∴∠CBH=45°,①正确.

∵CE=CG,CH⊥EG,

∴点H是EG的中点,②正确.

∵∠HBF=45°,BH=8,

∴FH=FB=4,又BC=6,

∴FC=2,

∴CH==2,

∴EG=2CH=4,③正确.

∵CH=EH=2,∠EHC=90°,

∴EC==4,

∴BE==2,

又DG=BE,∴DG=2,④正确.

故选:D.

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