Question

如图，等边△ABC的边长为6，BC在x轴上，BC边上的高线AO在y轴上，直线l绕点A转动（与线段BC没有交点）．设与AB、l、x轴相切的⊙O₁的半径为r₁，与AC、l、x轴相切的⊙O₂半径为r₂
（1）求两圆的半径之和；
（2）探索直线l绕点A转动到什么位置时两圆的面积之和最小？最小值是多少？
（3）若r1-r2=

3

，求经过点O₁、O₂的一次函数解析式．

Answer 1

分析：（1）本小题先根据切线的性质得到EF的长，再依据锐角三角函数求出EB+FC的值，进而解决问题；
（2）解决本题的关键就是求出两圆之和和r₁之间的函数关系式，根据二次函数的极值解决问题；
（3）本小题主要用待定系数法求出一次函数的解析式．

解答：解：（1）解法1：设切点分别为M、N、E、F、P、Q，由切线定义，可得AM=AP，AN=AQ，EB=BP，FC=CQ，MN=EF，
∴MN+EF=18，MN=EF，
∴EF=9，
∴EB+FC=9-6=3，
∵∠EBP=120°，
∴∠EBO₁=60°，
∴r₁=

3

EB，
同理r₂=

3

CF，
∴r₁+r₂=

3

（EB+FC）=3

3

，
解法2：∵∠EBP=120°，
∴∠EBO₁=60°，
∴EB=PB=

3

3

r1，同理CF=CQ=

3

3

r2，
∴由EF=MN得：

3

3

r1+6+

3

3

r2=（6-

3

3

r1）+（6-

3

3

r2）
∴r₁+r₂=3

3

评分参考：①利用Rt△解得r与切线关系（2分）；②得出结果r₁+r₂=3

3

，（2分）

（2）两圆面积之和S=π

r

2 1

+π(3

3

-r1)2=2π[(r1-

3 3

2

)2+

27

4

]，（2分）
∴当r1=

3 3

2

时，面积之和最小，这时r₁=r₂，直线l∥x轴，（1分）
面积和的最小值为

27

2

π；（1分）

（3）由r₁+r₂=3

3

，r₁-r₂=

3

，解得O1(-5，2

3

)，O2(4，

3

)，（2分）
直线O₁O₂解析式为y=-

3

9

x+

13 3

9

．（2分）

点评：本题主要考查学生对圆的切线性质及二次函数相关知识的掌握程度，难度比较大，关键是通过圆的切线性质的应用及待定系数法．