Question

19．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=5，点E在AD边上，EF⊥BC，垂足为F，点M在AB边上，BM=1，沿过点M的直线折叠该纸片，使点A落在线段EF上的点A′处，折痕为MN，点N在AD边上．
（1）画出折痕MN；（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
（2）当BF=1.8时，求折痕MN的长；
（3）写出折痕MN的条数与对应的BF的长度之间的关系．

Answer 1

分析 （1）以M为圆心，MA长为半径画弧，交EF于A'，作∠AMA'的角平分线，交AD于N，连接NA'，MA'，则MN是折痕；
（2）过点M作MH⊥EF于H，得出BF=MH=AE=1.8，BM=GF=1，EG=AM=3，根据勾股定理求得A'G，再设AN=x，则NE=1.8-x，NA'=x，在Rt△A'EN中，根据勾股定理得到（1.8-x）²+0.6²=x²，求得AN的长，最后根据勾股定理求得MN的长即可；
（3）分情况讨论即可，当BF＜2$\sqrt{2}$时，有一条折痕；当2$\sqrt{2}$≤BF＜3时，有两条折痕；当BF=3时，有一条折痕；当BF＞3时，无折痕．

解答 解：（1）如图所示，折痕MN即为所求；


（2）过点M作MG⊥EF于G，则BF=MG=AE=1.8，BM=GF=1，EG=AM=3，

由折叠得，MA'=MA=3，
∴Rt△MA'G中，A'G=$\sqrt{{3}^{2}-1．{8}^{2}}$=2.4，
∴EA'=3-2.4=0.6，
设AN=x，则NE=1.8-x，NA'=x，
∴Rt△A'EN中，（1.8-x）²+0.6²=x²，
解得x=1，
∴AN=1，
∴Rt△AMN中，MN=$\sqrt{A{M}^{2}+A{N}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（3）连接MF，
因为当MF=MA'=3时，Rt△BMF中，BF=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{1}}$=2$\sqrt{2}$，

故当BF＜2$\sqrt{2}$时，有一条折痕；
因为当MA'⊥EF时，BF=MA'=3，
故当2$\sqrt{2}$≤BF＜3时，有两条折痕；
当BF=3时，有一条折痕；
当BF＞3时，无折痕．

点评 本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．