(1)如图1.将含30°的三角板DFF的直角顶点D放置在含45°的直角三角板ABC的斜边AC的中点位置上.两直角边分别交AB.BC于M.N.利用三角形的全等.发现DM与DN数量关系是DM=DN,若AB=5.BM=x.BN=y.y与x的函数关系式为:y=5-x,(2)若将三角板DEF绕顶点D旋转.两直角边分别与AB.BC的延长线交于M.N.如图2.(1)中的DM与DN数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．（1）如图1，将含30°的三角板DFF的直角顶点D放置在含45°的直角三角板ABC的斜边AC的中点位置上，两直角边分别交AB、BC于M、N，利用三角形的全等，发现DM与DN数量关系是DM=DN；若AB=5，BM=x，BN=y，y与x的函数关系式为：y=5-x；
（2）若将三角板DEF绕顶点D旋转，两直角边分别与AB、BC的延长线交于M、N，如图2，（1）中的DM与DN数量关系是否改变？并说明理由；
（3）若将三角板DEF的顶点D从中点处沿CA方向平移、旋转至△ADB≌△CND，如图3，其余条件不变，求证：BM=BN．

分析（1）根据△ABC是等腰直角三角形，且D是AC的中点，得出△BDM≌△CDN（ASA），即可得到DM=DN，且BM=CN，再根据BN+CN=BN+BM=5，即可得到y+x=5；
（2）根据△ABC是等腰直角三角形，且D是AC的中点，证明出△BDM≌△CDN（ASA），即可得到DM=DN；
（3）根据△ADB≌△CND，得到AB=CD，∠ABD=∠CDN，AD=CN，再根据△BDC是等腰三角形，求得∠ABD的度数，进而得到∠CDN的度数，最后根据∠MDN是直角，求得∠ADM=∠AMD=67.5°，即可得到AD=AM=CN，据此得出结论BM=BN．

解答解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，且D是AC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC=CD，BD⊥AC，∠DBM=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°=∠C，
又∵∠MDN=90°，
∴∠BDM+∠BDN=90°=∠CDN+∠BDN，
∴∠BDM=∠CDN，
在△BDM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠C}\\{BD=CD}\\{∠BDM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDN（ASA），
∴DM=DN，且BM=CN，
∵AB=BC=5，
∴BN+CN=BN+BM=5，
即y+x=5，
∴y与x的函数关系式为y=5-x；
故答案为：DM=DN；y=5-x；

（2）DM与DN数量关系不变．
理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，且D是AC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC=CD，BD⊥AC，∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°=∠ACB，
∴∠DBM=∠DCN=135°，
又∵∠MDN=90°，
∴∠BDM+∠MDC=90°=∠CDN+∠MDC，
∴∠BDM=∠CDN，
在△BDM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠DCN}\\{DB=DC}\\{∠BDM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDN（ASA），
∴DM=DN；

（3）证明：∵△ADB≌△CND，
∴AB=CD，∠ABD=∠CDN，AD=CN，
∵AB=BC，
∴CD=CB，
∵∠C=45°，
∴∠DBC=67.5°，
∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°，
∴∠CDN=22.5°，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADM=180°-90°-22.5°=67.5°，
又∵∠A=45°，
∴△ADM中，∠AMD=67.5°，
∴∠ADM=∠AMD，
∴AD=AM，
∴CN=AM，
∵AB=BC，
∴BM=BN．

点评本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是根据ASA判定△BDM≌△CDN，据此得出对应边相等．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．