Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长．

Answer 1

（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，再结合AC＝CF可得CB＝AF，即可证得△ABF是直角三角形，从而可以证得结论；（2）10

试题分析：（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，再结合AC＝CF可得CB＝AF，即可证得△ABF是直角三角形，从而可以证得结论；
（2）连接DO，EO，由点D，点E分别是弧AB的三等分点，可得∠AOD＝60°，再结合OA＝OD可得△AOD是等边三角形，从而可以求得结果.
（1）∵∠CBF＝∠CFB
∴CB＝CF．
又∵AC＝CF， 
∴CB＝AF．
∴△ABF是直角三角形．
∴∠ABF＝90°． 
∴直线BF是⊙O的切线．   
（2）连接DO，EO．                

∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，
∴∠AOD＝60°．  
又∵OA＝OD， 
∴△AOD是等边三角形，∠OAD＝60°，OA＝AD＝5．      
又∵∠ABF＝90°，AB=2OA=10， 
∴BF＝10．
点评：解题的关键是熟练掌握切线垂直于经过切点的半径；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.