Question

【题目】在边长为2的正方形ABCD中，P为AB上一动点，E为AD中点，PE交CD延长线于Q，过E作EF⊥PQ交BC延长线于F，则下列结论：①△APE△DQE；②PQ=EF；③当P为AB中点时，CF= ；④若H为QC中点，当P从A移动到B时，线段EH扫过的面积为 .其中正确的是（ ）

A.①②
B.①②④
C.②③④
D.①②③

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，
∵∠A＝∠EDQ， AE=ED,∠AEP＝∠DEQ，
∴△AEP≌△DEQ，故①正确；
②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，EM与PG交于点N，

∴∠PGQ=∠EMF=90°．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF=90°，即∠PEN+∠NEF=90°，
∵∠NPE+∠NEP=90°，
∴∠NPE=∠NEF，
∵四边形 ABCD 是正方形，∴PG=EM．
在△EFM 和△PQG中，
∠PGQ＝∠EMF , PG = ME,∠NPE=∠NEF，
∴△EFM≌△PQG，∴EF=PQ，故②正确
③连结QF，由PG⊥CD，且PE=EQ（由△AEP≌△DEQ可得），
则QF=PF，
则PB2+BF2=QC2+CF2 ，
设CF=x,列出方程得，（2+x）2+12=32+x2 ， 解得x=1，故③错误；
④当P在A点时，Q与D重合，QC中点H在DC中点S处，当P移动到B点时，QC中点H与D重合，故EH扫过的部分就为△ESD的面积为 ×ED×DS= ×1×1= ，故④正确.故选B.
①根据正方形的性质易得∠A＝∠EDQ，再由对顶角相等，中点的定义即可证得全等；②需要构造全等三角形；③由三线合一可证得PF=QF，再由勾股定理列方程求解；④CD的中点始终在CD边上，则EH扫过的部分是一个三角形，由DE⊥CD可得DE为该三角形的高，根据点P的初始位置和终点可以找出点H的初始位置和终点，则它们的距离即H所走过的路程即为三角形的底，再求面积即可.