题目内容
【题目】如图,在扇形AOB中,OA、OB是半径,且OA=4,∠AOB=120°.点P是弧AB上的一个动点,连接AP、BP,分别作OC⊥PA,OD⊥PB,垂足分别为C、D,连接CD.
(1)如图①,在点P的移动过程中,线段CD的长是否会发生变化?若不发生变化,请求出线段CD的长;若会发生变化,请说明理由;
(2)如图②,若点M、N为的三等分点,点I为△DOC的外心.当点P从点M运动到N点时,点I所经过的路径长为__________.(直接写出结果)
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)先连接AB,因为CD是△PAB的中位线,所以CD=因为AB长度不变,即CD长度不变,根据OA=4,∠AOB=120°,利用解直角三角形的方法求出AB,再根据中位线的性质即可求出CD,
(2)因为CD是△PAB的中位线,根据中位线的性质CD∥AB,因为点I是△DOC的外心,所以点I在CD的垂直平分线上,然后求出点I运动路线是以O为圆心,OI为半径,圆心角60°所对的弧长,利用弧长公式求解.
试题解析:∵OA=OB,OH⊥AB,
∴AH=BH=AB,∠AOH=∠AOB=60°,
在Rt△AOH中,
∵∠OAH=30°,
∴OH==2,
∴在Rt△AOH,由勾股定理得AH==,
∴AB=,
∴CD=,
(2).
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