题目内容
【题目】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．
（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；
（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．
【答案】（1）
；（2）y＝
（0≤x＜
）；（3）
或
．
【解析】
（1）当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．根据tan∠PQM＝
求解即可．
（2）如图1中，延长QN交AB于K．求出MK，PM，根据y＝PMMK求解即可．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．根据EG＝
PC构建方程求解．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．根据PC＝GH构建方程求解即可．
解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝
＝
＝10，
当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．
∴tan∠PQM＝＝
＝．
（2）如图1中，延长QN交AB于K．
由题意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝
x，AM＝
x，KQ＝BQ＝
，BK＝BQ＝
，MK
∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝
，
∵QN＜QK，
∴x＜，
∴x＜，
∴y＝PMMK＝（0≤x＜）．
（3）①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．
∵PD∥BC，EN∥BC，
∴PD∥NE，
∵PE∥DN，
∴四边形PDNE是平行四边形，
∴PE＝DN，
∵DN＝DM，PQ＝MN，
∴PE＝EQ，
∵EG∥PC，
∴CG＝GQ，
∴EG＝PC，
∵四边形EGHN是矩形，
∴NH＝EG＝NQ＝PM＝x，PC＝8﹣x，
∴x＝（8﹣x），
解得x＝．
②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．
∵DH＝PC，
∴8﹣x＝x，
解得x＝
，
综上所述，满足条件x的值为或．
