Question

如图， Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC边的中点，连接DE.
（1）求证：DE与⊙O 相切.
（2）若tanC=，DE=2，求AD的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

解析试题分析：（1）连接OD，BD，求出∠ADB＝∠BDC＝90°，推出DE＝BE＝CE，推出∠EDB＝∠EBD，∠OBD＝∠ODB，推出∠EDO＝∠EBO＝90°即可.
（2）由∠BDC=90°，E为BC边的中点可得BC=4，在Rt△ABC中，由tanC＝可得AB=2，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=6，由△ABD∽△ACB可求得AD=.
试题解析：（1）如图，连接BD、OD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°.
∵E为BC边的中点，∴DE=EC．∴∠1=∠C.
∵OA=OD，∴∠2=∠A.
∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C =90°．∴∠1+∠2 =90°.
∴∠ODE =90°．∴OD⊥DE于点D.
∵以AB为直径的⊙O交AC于点D，∴D是半径的外端.
∴DE与⊙O 相切．
（2）∵∠BDC=90°，E为BC边的中点，∴.
∵DE=2，∴BC=4.
在Rt△ABC中，tanC=，∴AB=BC·=2.
在Rt△ABC中，AC=，
又∵△ABD∽△ACB，∴，即.
∴AD=.

考点：1.切线的判定；2.圆周角定理；3.等腰三角形的性质；4.三角形内角和定理；5.直角三角形斜边上的中线性质；6.锐角三角函数定义；7.勾股定理；8.相似三角形的判定和性质.