Question

如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F.
（1）BE与EF相等吗？并说明理由；
（2）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式.
（3）求的值.

Answer 1

（1）相等，理由见解析；（2）正确；（3）．

解析试题分析：（1）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案；
（3）求出，求出AH、CP的长，代入即可求出答案．
试题解析：（1）BE=EF，
理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∵A为弧BP中点，
∴∠ABP=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABP，
∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，
∴EF=AE，
∴BE=EF；
（2）小李的发现是正确的，
理由是：延长BA、CP，两线交于G，
∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，
∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，
在△PCF和△PBG中，

∴△PCF≌△PBG（ASA），
∴CF=BG，
∵BC为直径，
∴∠BAC=°，
∵A为弧BP中点，
∴∠GCA=∠BCA，
在△BAC和△GAC中

∴△BAC≌△GAC（ASA），
∴AG=AB=BG，
∴CF=2AB；
（3）连接OA交BP于H，

∵A为弧BP的中点，
∴OA⊥BP，
∵∠BPC=90°，
∴OA∥CP，
∴△AHF∽△CPF，
∴，
设OA=r，BC=2r，
∵BP=CP，∠BPC=90°，
∴PC=r，
∴OH=，AH=，
∴=．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.圆周角定理．