Question

【题目】如图，边长为1的正方形ABCD的对角线交于点O，点E是边AB上一动点，点F在边BC上，且满足OE⊥OF，在点E由A运动到B的过程中，以下结论正确的个数为(　　)

①线段OE的大小先变小后变大；②线段EF的大小先变大后变小；③四边形OEBF的面积先变大后变小．

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根据E点运动路线可知E点在起始A点和终点B点时都最大，在此过程中当OE⊥AB时，OE最小，所以线段OE的大小先变小后变大；

②易知△AOE≌△BOF，可得OE＝OF，根据勾股定理可知EF2＝OE2＋OF2=2OE2，所以EF的变化和OE变化一致：先变小后变大；

③证明四边形OEBF面积＝△AOB面积，可得其面积始终不变．

①在点E由A运动到B的过程中，根据垂线段最短可知当OE⊥AB时，OE最小，

所以线段OE的大小先变小后变大，①正确；

②∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOB=90°，即∠AOE+∠BOE=90°，

∵∠BOF+∠BOE=90°，

∴∠AOE=∠BOF，

又∵∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，

∴△OAE≌△OBF(ASA)，

∴OE=OF，

∵在Rt△OEF中，利用勾股定理可知EF2=OE2+OF2=2OE2，

∴EF的变化是先变小后变大，②错误；

③∵△OAE≌△OBF，

∴△OAE的面积=△OBF的面积，

∴四边形OEBF的面积=△OEB的面积+△OBF的面积=△OEB的面积+△OAE的面积=△AOB的面积，

∴四边形OEBF的面积不会改变，始终等于△AOB面积，③错误．

故选：B．