Question

如图，正方形ABCD中，BE=CF．
(1)求证：△BCE≌△CDF；
(2)求证：CE⊥DF；
(3)若CD=4，且DG²＋GE²=18，则BE=   ．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

试题分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，可得DC=BC，∠DCF=∠CGE，结合BE=CF，于是可以证明△BCE≌△CDF；
（2）由△DCF≌△CBE得到∠BCE=∠CDF，结合角角之间的数量关系，证明出CE⊥DF；
（3）连接DE，首先证明△DGE是直角三角形，利用勾股定理结合正方形的性质即可求出AE．
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCF=∠CGE，
∵在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS）；
（2）∵△DCF≌△CBE，
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠BCE+∠DFC=90°，
∴∠CGF=90°；
（3）连接DE，
∵∠CGF=90°，
∴∠EGD=90°，
∴△DGE是直角三角形，
∵DE2=DG²+GE²=18，
∵CD=4，
∴AD=CD=4，
∴AE=.