题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,D(0,2),E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点OB),作MNDM,垂足为M,交∠CBE的平分线于点N.

(1)写出点C的坐标;

(2)求证:MD=MN

(3)连接DNBC于点F,连接FM,下列两个结论:①FM的长度不变;②MN平分∠FMB,其中只有一个结论是正确的,请你指出正确的结论,并给出证明

【答案】1)点的坐标为;(2)见解析;(3)MN平分∠FMB成立,证明见解析

【解析】

1)根据四边形OBCD是正方形所以点C的坐标应该是C22);

2)可通过构建全等三角形来求解.在OD上取OH=OM,通过证三角形DHMMBN全等来得出DM=MN

3)本题也是通过构建全等三角形来求解的.在BO延长线上取OA=CF,通过三角形OADFDC和三角形DAMDMF这两对全等三角形来得出FMOMCF的关系,从而得出FM是否是定值.然后再看∠FMN是否与∠NME相等.

1)∵四边形是正方形,

∴点的坐标为

(2)OD上取OH=OM,连接HM

OD=OBOH=OM

HD=MB,∠OHM=OMH

∴∠DHM=180°45°=135°

NB平分∠CBE

∴∠NBE=45°

∴∠NBM=180°45°=135°

∴∠DHM=NBM

∵∠DMN=90°

∴∠DMO+NMB=90°

∵∠HDM+DMO=90°

∴∠HDM=NMB

DHMMBN中,

∴△DHM≌△MBN(ASA)

DM=MN.

(3)MN平分∠FMB成立。证明如下:

BO延长线上取OA=CF,可证△DOA≌△DCF,DMA≌△DMF

FM=MA=OM+CF(不为定值),∠DFM=DAM=DFC

MMPDNP,则∠FMP=CDF

(2)可知∠NMF+FMP=PMN=45°

NMB=MDH,MDO+CDF=45°

进一步得∠NMB=NMF,即MN平分∠FMB.

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