题目内容
等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，面积S=9，建立如图所示的直角坐标系，已知A（1，0）、B（0，3）．（1）求C、D两点坐标；
（2）取点E（0，1），连接DE并延长交AB于F，求证：DF⊥AB；
（3）将梯形ABCD绕A点旋转180°到AB′C′D′，求对称轴平行于y轴，且经过A、B′、C′三点的抛物线的解析式；
（4）是否存在这样的直线，满足以下条件：①平行于x轴，②与（3）中的抛物线有两个交点，且这两交点和（3）中的抛物线的顶点恰是一个等边三角形的三个顶点？若存在，求出这个等边三角形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）依题意设C（-m，3），则D（-m-1，0），根据梯形面积公式可求m=2，求出C，D两点坐标；
（2）通过证明△ODE≌△OBA，利用互余关系可证DF⊥AB；
（3）利用中心对称画图，由对称性可确定A，B'，C'三点坐标，再求出抛物线解析式；
（4）可根据等边三角形的高与边长的关系，建立等式求解；
解答：
（1）解：依题意设C（-m，3），则D（-m-1，0），BC=m，AD=m+2，
由梯形面积公式得（m+m+2）×3÷2=9，
解得m=2，
∴C（-2，3），D（-3，0）；
（2）证明：∵OD=OB=3，∠DOE=∠BOA=90°，OE=OA=1，
∴△ODE≌△OBA，
∴∠DEO=∠A，∠EDO+∠DEO=90°，
∴∠A+∠EDO=90°
∴DF⊥AB；
（3）解：由旋转的性质可得B'（2，-3），C'（4，-3）又A（1，0），
设抛物线解析式y=ax2+bx+c，
代入得
，
解得
，
∴y=x2-6x+5；
（4）解：存在，设等边三角形边长为2n，
∵抛物线对称轴是x=3，顶点坐标（3，-4）
则其中右交点为（n+3，n2-4），等边三角形高为n2-4-（-4）=n2；
由等边三角形底，高的关系得
n=n2；
∴n=
，
此时等边三角形边长为2
，高为3，面积为3
．
点评：本题考查了点的坐标、二次函数解析式求法，会用全等三角形解决垂直问题，会在图形中解决特殊三角形的应该问题，本题综合性很强．
（2）通过证明△ODE≌△OBA，利用互余关系可证DF⊥AB；
（3）利用中心对称画图，由对称性可确定A，B'，C'三点坐标，再求出抛物线解析式；
（4）可根据等边三角形的高与边长的关系，建立等式求解；
解答：
（1）解：依题意设C（-m，3），则D（-m-1，0），BC=m，AD=m+2，由梯形面积公式得（m+m+2）×3÷2=9，
解得m=2，
∴C（-2，3），D（-3，0）；
（2）证明：∵OD=OB=3，∠DOE=∠BOA=90°，OE=OA=1，
∴△ODE≌△OBA，
∴∠DEO=∠A，∠EDO+∠DEO=90°，
∴∠A+∠EDO=90°
∴DF⊥AB；
（3）解：由旋转的性质可得B'（2，-3），C'（4，-3）又A（1，0），
设抛物线解析式y=ax2+bx+c，
代入得
，解得
，∴y=x2-6x+5；
（4）解：存在，设等边三角形边长为2n，
∵抛物线对称轴是x=3，顶点坐标（3，-4）
则其中右交点为（n+3，n2-4），等边三角形高为n2-4-（-4）=n2；
由等边三角形底，高的关系得
n=n2；∴n=
，此时等边三角形边长为2
，高为3，面积为3．点评：本题考查了点的坐标、二次函数解析式求法，会用全等三角形解决垂直问题，会在图形中解决特殊三角形的应该问题，本题综合性很强．
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