题目内容

【题目】已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆,P为劣弧BC上一点(点P与点B,C不重合).

(1)如果P是劣弧BC的中点,求证:PB+PC=PA;

(2)当点P在劣弧BC上移动时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)成立

【解析】1)连接OB,OC,由P是劣弧BC的中点,得PB=PC,由ABC为等边三角形知,故可证AP是⊙P的直径, 易证OBPOPC是等边三角形,从而可证明PB+PC=PA;

(2)在弦PA上截取PE=PC,连接CE.证明CAE≌△CBP即可得出结论

(1)证明:如图①连接OB,OC.

∵△ABC是⊙O的内接等边三角形

AB=AC,

P的中点

AP为⊙O的直径.

∵∠BPO=BCA=60°,OB=OP,

∴△OBP是等边三角形

同理OPC是等边三角形

PB=PC=OP=OA,

PB+PC=PA.

(2)(1)中的结论还成立.理由如下:

如图②在弦PA上截取PE=PC,连接CE.

∵∠APC=ABC=60°,

∴△PEC为等边三角形

CE=CP.

∵∠PCE=60°,且∠ACB=60°,

∴∠ACE=BCP.

又∵CA=CB,

∴△CAE≌△CBP,

AE=PB.

AE+PE=PA,

PB+PC=PA.

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