题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点Bx轴的正半轴上,已知∠OBA=90°OB=3sin∠AOB=.反比例函数y=x0)的图象经过点A

1)求反比例函数的解析式;

2)若点Cm2)是反比例函数y=x0)图象上的点,则在x轴上是否存在点P,使得PA+PC最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)y=(2)(50).

【解析】试题分析:(1)、首先求得点A的坐标,然后利用待定系数法求反比例函数的解析式即可;(2)、首先求得点A关于x轴的对称点的坐标,然后求得直线A′C的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标.

试题解析:(1∵∠OBA=90°sin∠AOB=,可设AB=4aOA=5a

∴OB═=3a,又OB=3∴a=1∴AB=4A的坐标为(34),

A在其图象上,∴4=∴k=12反比例函数的解析式为y=

(2)、在x轴上存在点P,使得PA+PC最小.理由如下:

Cm2)是反比例函数y=x0)图象上的点,k=12∴2=

∴m=6,即点C的坐标为(62);

作点A34)关于x轴的对称点A′3﹣4),如图,连结A′C

设直线A'C的解析式为:y=kx+b∵A′3﹣4)与(62)在其图象上,

,解得直线A'C的解析式为:y=2x﹣10, 令y=0,解得x=5

∴P50)可使PA+PC最小.

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