Question

【题目】先让我们一起来学习方程m2+1= 的解法：
解：令m2=a，则a+1= ，方程两边平方可得，（a+1）2=a+3
解得a1=1，a2=﹣2，∵m2≥0∴m2=1∴m=±1
点评：类似的方程可以用“整体换元”的思想解决．
不妨一试：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．

（1）求抛物线的解析式；
（2）①当P点运动到A点处时，通过计算发现：POPH（填“＞”、“＜”或“=”）；
（3）当△PHO为等边三角形时，求点P坐标；
（4）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P、O、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），

∴﹣3=16a+1，

∴a=﹣ ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+1，顶点B（0，1）

（2）=
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有何数量关系，并证明你的猜想；
解：结论：PO=PH．理由：设点P坐标（m，﹣ m2+1），
∵PH=2﹣（﹣ m2+1）= m2+1PO= = m2+1，
∴PO=PH
（3）

解：∵△PHO为等边三角，

∴OP=OH．

由两点间的距离公式可知：OH= ．

∴ m2+1= ，解得：m=±2 ，

∴P（2 ，﹣2）、（﹣2 ，﹣2）

（4）

解：∵BC= = ，AC= = ，AB= =4 ．

∴BC=AC，

∵PO=PH，以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，

∴PH与BC，PO与AC是对应边，

∴ ，设点P（m，﹣ m2+1），

∴ = ，解得m=±1．

∴点P坐标（1， ）或（﹣1， ）

【解析】解： （2）①当P点运动到A点处时．
∵PO=5，PH=5，
∴PO=PH．
所以答案是：=．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．