题目内容
【题目】如图，已知
与
，
平分．
(1)如图1，与的两边分别相交于点
、
，
，试判断线段
与
的数量关系，并说明理由.
以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：
．
理由如下：如图1，过点
作
，交
于点
，则
，
…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
(3)若
，
．
①如图3，与的两边分别相交于点、时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段
、
、有什么数量关系？说明理由．
②如图4，的一边与
的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、、有什么数量关系；如图5，的一边与
的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、、有什么数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，
.在图5中，(1)中的结论成立，
【解析】
（1）通过ASA证明
即可得到CD=CE；（2）过点
作
，
，垂足分别为
，
，通过AAS证明
同样可得到CD=CE；（3）①方法一：过点作
，垂足分别为，，通过AAS得到，进而得到
，利用等量代换得到
，在
中，利用30°角所对的边是斜边的一半得
，同理得到
，所以
；方法二：以
为一边作
，交
于点
，通过ASA证明，得到
，所以
；②图4：以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点，利用ASA证得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF
得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点，利用ASA证得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.
解：(1)
平分
，
，
又
在
与
中，
(2)如图2，过点作，，垂足分别为，，
∴
，
又∵
平分，
∴
，
在四边形
中，
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
在
与
中，
∴
，
∴
.
(3)①(1)中的结论仍成立..
理由如下：
方法一：如图3(1)，过点作，，
垂足分别为，，
∴，
又∵平分，
∴，
在四边形
中，
，
又∵
，
∴，
又∵
，
∴
，
在与中，
，
∴，
∴.
∴
.
在中，
，
∴，同理，
∴
.
方法二：如图3（2），以为一边作，交于点，
∵平分，∴
，
∴
，
∴，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在与中，
∴
，
∴.
∴.
②在图4中，(1)中的结论成立，.
如图，以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点
∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线
∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCF=60°
∴△COF为等边三角形
∴OC=OF
∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°
∴∠OCD=∠FCB
又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°
∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°
∴∠COD=∠CFE
∴△COD≌△CFE（ASA）
∴CD=CE，OD=EF
∴OE=OF+EF=OC+OD
即OE-OD=OC
在图5中，(1)中的结论成立，.
如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点
∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线
∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCG=60°
∴△COG为等边三角形
∴OC=OG
∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°
∴∠DCG=∠OCE
又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°
∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°
∴∠CGD=∠COE
∴△CGD≌△COE（ASA）
∴CD=CE，OE=DG
∴OD=OG+DG=OC+OE
即OD-OE=OC
