Question

【题目】如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG.

（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；

（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝4，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）四边形EBGD是菱形．理由见解析；（2）4

【解析】试题分析：（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在Rt△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．

试题解析：

（1）四边形EBGD是菱形．理由：

∵EG垂直平分BD，

∴EB＝ED，GB＝GD，BF＝DF.

∴∠EBD＝∠EDB.

又∵∠EBD＝∠DBC，

∴∠EDF＝∠GBF.

在△EFD和△GFB中，

∴△EFD≌△GFB（ASA）．

∴ED＝BG.

∴BE＝ED＝DG＝GB.

∴四边形EBGD是菱形．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG＋HC最小．

在Rt△EBM中，

∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝4，

∴EM＝BE＝2.

∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，

∴EM∥DN，EM＝DN＝2，MN＝DE＝4.

在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，

∴∠NDC＝∠NCD＝45°.

∴DN＝NC＝2.

∴MC＝4＋2＝6.

在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，由勾股定理，得EC＝ .

∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC，

∴HG＋HC的最小值为4 .