Question

如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
小题1:求证：MN是半圆的切线；
小题2:求证：FD=FG；
小题3:若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

Answer 1

小题1:略
小题2:略
小题3:16

1、∵MN⊥AB，
∴∠MAC+∠CAB=90°
∵AB是半圆直径，
∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠ABC=90°,
∵∠ABC=∠MAC,(已知），
∴∠MAC+∠CAB=90°，
∴MN是半圆的切线。
2、∵D是弧AC的中点，
∴BD是∠CBA的平分线，
∠CBD=∠DBA,
∠CGB=90°-∠CBA,
∵∠DGF=∠CGB(对顶角相等），
∴∠DGF=90°-∠CBD，
∵DE⊥AB，
∴∠GDF=90°-∠DBE，
∴∠EDG=∠DGF,
∴△FDG是等腰△，
∴FD=FG。
3、作FP⊥DG，
S△FDG=9/2，
DG=3，
S△FDG=DG*FP/2，
FP=3，
∵∠PGF=∠CGB（对顶角相等），
∠BCG=∠GPE=90°
∴△BGC∽△FGP，
FP/BC=PG/CG，PG=DG/2=3/2，
3/BC=（3/2）/4，
BC=8，
∴S△BGC=BC*CG/2=8*4/2=16