题目内容

【题目】如图,直线分别交轴、轴于两点,线段上有一动点由原点向点运动,速度为每秒个单位长度,设运动时间为秒.

直接填出两点的坐标:________________

过点作直线截,使截得的三角形与相似,若当在某一位置时,满足条件的直线共有条,的取值范围是________

如图,过点轴的垂线交直线于点,设以为顶点的抛物线与直线的另一交点为

①用含的代数式分别表示________________

②随着点运动,的长是否为定值?若是,请求出长;若不是,说明理由;

③设边上的高为,请直接写出当为何值时,的值最大?

【答案】1)(40),(03);(20t;(3)①﹣t,﹣t+3;②CD的长为定值CD=;③t=h的值最大

【解析】

1)在直线AB的解析式中x=0能得到点B的坐标y=0能得到点A的坐标

2)此题需要注意的是满足条件的直线共有4这个条件这四条直线中,“P与直线AB平行的直线、过Py轴平行的直线、过P与直线AB垂直的直线这三条直线P只要在线段OA上就都能满足截得的三角形与△ABO相似”,所以求t的取值范围关键要看第四条当∠PBO=BAOPBOBAO相似那么此时点P的位置就能确定符合条件的t的最大值可根据这个思路解答

3①根据直线AB的解析式t表示出点C的坐标而点C是抛物线的顶点且抛物线的解析式已表示为顶点式mn的值可求

②联立直线AB与抛物线的解析式先求出CD点的坐标再判断线段CD的长是否为定值

③由②的结论知CD是定长那么以CD为底、点O到直线AB的距离为高即可判断出△OCD的面积是一个定值反过来看若以OC为底、h为高那么当OC最短时h的值最大RtAOB显然只有当OCABOC最大此时先由△AOB的面积求出OC的长然后在RtOCA由射影定理求出OP的长t值可求

1)直线y=﹣x+3x=0y=3 B03);

y=0x=4 A40);

A40)、B03).

2)如图PlABlOAlABPBOBAO都相似此时点P在线段OA上时都符合要求所以只考虑第四种情况

当∠PBO=BAORtPBORtBAO

易知tanPBO=tanBAO==

RtOBPOB=3 OP=OBtanPBO=3×=/span>

∴满足条件的t的取值范围是 0t

3①由题意Pt0), Ct,﹣t+3),而抛物线的顶点坐标为 (﹣mn),m=﹣tn=﹣t+3

②由①知y=(xt2t+3联立直线AB的解析式

解得 ∴点Ct,﹣t+3)、Dt,﹣t+);

可求得CD的长为定值CD=

③由②知CD的长是定值且点OCD的距离不变所以△OCD的面积是定值

在△OCDOC为底、h为高 SOCD=OChSOCD是定值所以当OC最短时h最大

RtOABOC为底边AB上的高时OC最短此时OCAB

OC==

RtOACOP===

∴当t=h的值最大

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