题目内容
【题目】如图,直线分别交
轴、
轴于
、
两点,线段
上有一动点
由原点
向点
运动,速度为每秒
个单位长度,设运动时间为
秒.
直接填出两点的坐标:
:________,
:________;
过点
作直线截
,使截得的三角形与
相似,若当
在某一位置时,满足条件的直线共有
条,
的取值范围是________;
如图,过点
作
轴的垂线交直线
于点
,设以
为顶点的抛物线
与直线
的另一交点为
.
①用含的代数式分别表示
________,
________;
②随着点运动,
的长是否为定值?若是,请求出
长;若不是,说明理由;
③设的
边上的高为
,请直接写出当
为何值时,
的值最大?
【答案】(1)(4,0),(0,3);(2)0<t≤;(3)①﹣t,﹣
t+3;②CD的长为定值,且CD=
;③当t=
时,h的值最大.
【解析】
(1)在直线AB的解析式中,令x=0,能得到点B的坐标;令y=0,能得到点A的坐标.
(2)此题需要注意的是“满足条件的直线共有4条”这个条件,这四条直线中,“过P与直线AB平行的直线、过P与y轴平行的直线、过P与直线AB垂直的直线”这三条直线,点P只要在线段OA上就都能满足“截得的三角形与△ABO相似”,所以求t的取值范围,关键要看第四条,即:当∠PBO=∠BAO时,△PBO、△BAO相似,那么此时点P的位置就能确定符合条件的t的最大值,可根据这个思路解答.
(3)①根据直线AB的解析式,用t表示出点C的坐标,而点C是抛物线的顶点,且抛物线的解析式已表示为顶点式,则m、n的值可求;
②联立直线AB与抛物线的解析式,先求出C、D点的坐标,再判断线段CD的长是否为定值;
③由②的结论知CD是定长,那么以CD为底、点O到直线AB的距离为高即可判断出△OCD的面积是一个定值,反过来看,若以OC为底、h为高,那么当OC最短时,h的值最大;在Rt△AOB中,显然只有当OC⊥AB时,OC最大,此时,先由△AOB的面积求出OC的长,然后在Rt△OCA中,由射影定理求出OP的长,则t值可求.
(1)直线y=﹣x+3中,当x=0时,y=3,即 B(0,3);
当y=0时,x=4,即 A(4,0);
∴A(4,0)、B(0,3).
(2)如图,过P作l∥AB、l⊥OA、l⊥AB时,△PBO、△BAO都相似,此时点P在线段OA上时,都符合要求,所以只考虑第四种情况:
当∠PBO=∠BAO时,Rt△PBO∽Rt△BAO;
易知:tan∠PBO=tan∠BAO==
;
在Rt△OBP中,OB=3,则 OP=OBtan∠PBO=3×=/span>
∴满足条件的t的取值范围是 0<t≤.
(3)①由题意,知:P(t,0),则 C(t,﹣t+3),而抛物线的顶点坐标为 (﹣m,n),∴m=﹣t,n=﹣
t+3;
②由①知:y=(x﹣t)2﹣t+3,联立直线AB的解析式,有:
,解得
,∴点C(t,﹣
t+3)、D(t﹣
,﹣
t+
);
可求得:CD的长为定值,且CD=;
③由②知:CD的长是定值,且点O到CD的距离不变,所以△OCD的面积是定值;
在△OCD中,以OC为底、h为高,则 S△OCD=OCh,S△OCD是定值,所以当OC最短时,h最大;
在Rt△OAB中,OC为底边AB上的高时,OC最短,此时OC⊥AB;
OC==
;
在Rt△OAC中,OP==
=
;
∴当t=时,h

【题目】从江县盛产椪柑,春节期间,一外地运销客户安排15辆汽车装运A、B、C三种不同品质的椪柑120吨到外地销售,按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品质的椪柑,每种椪柑所用车辆都不少于3辆.
(1)设装运A种椪柑的车辆数为x辆,装运B种椪柑车辆数为y辆,根据下表提供的信息,求出y与x之间的函数关系式;
椪柑品种 | A | B | C |
每辆汽车运载量(吨) | 10 | 8 | 6 |
每吨椪柑获利(元) | 800 | 1200 | 1000 |
(2)在(1)条件下,求出该函数自变量x的取值范围,车辆的安排方案共有几种?请写出每种安排方案;
(3)为了减少椪柑积压,从江县制定出台了促进椪柑销售的优惠政策,在外地运销客户原有获利不变的情况下,政府对外地运销客户,按每吨50元的标准实行运费补贴.若要使该外地运销客户所获利润W(元)最大,应采用哪种车辆安排方案?并求出利润W(元)的最大值?