Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O一点，且∠AED=45°
（1）试判断CD与⊙的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求∠ADE的正切值．

Answer 1

分析：（1）CD与⊙O相切．连接OD，首先求出∠AOD=90°，然后利用平行四边形的性质得到AB∥DC，利用平行线的性质即可证明题目的结论；
（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE，由AB是⊙O的直径得到∠AEB=90°，而AB=2×3=6（cm）．在Rt△ABE中，利用三角函数的定义即可求解．

解答：（1）CD与⊙O相切．
理由是：连接OD．
则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切．

（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）．
在Rt△ABE中，
tan∠ABE=

AE

BE

=

5

62-52

=

5

11

=

5

11

11

．
∴∠ADE的正切值为

5

11

11

．

点评：本题主要考查了切线的判定和三角函数的定义．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．