Question

如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s的速度沿CB匀速运动，点E从点C出发，以1cm/s的速度沿CA匀速运动．当点D到达点B时，点D、E同时停止运动．过点D作BC的垂线l交AB于点P，连接DE、PE．设点E的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当t为何值时，△PDE的面积为4.5cm²？
（2）当t为何值时，△PDE的外心恰好在它的一条边上？
（3）作点E关于直线l的对称点E′．是否存在某一时刻t，使点E′恰好落在△ABC的外接圆上？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据DP∥AC得到△BDP∽△BCA，利用相似三角形对应边的比相等表示出DP=6-

3

2

t，利用若△PDE的面积为4.5列出有关t的方程求得t值即可；
（2）分当∠PED=90°和当∠DPE=90°时，分别利用△CDE∽△EPD，和线段CE=DP两种情况得到有关t的方程求解即可；
（3）分别表示出ON=3-t，NE′=4t-4，在Rt△ONE中利用勾股定理得到ON²+NE²=OE²，从而得到有关t的一元二次方程求解，但要注意舍去不符合题意的根．

解答：解：（1）由题意得BD=8-2t，
∵DP∥AC
∴△BDP∽△BCA，
∴

BD

BC

=

DP

AC

∴

8-2t

8

=

DP

6

∴DP=6-

3

2

t
若△PDE的面积为4.5，
则

1

2

（6-

3

2

t）×2t=4.5
解得：t=1或3，
∴当t=1或3时，△PDE的面积为4.5；

（2）显然，∠PDE≠90°，
当∠PED=90°时，如图1，
△CDE∽△EPD，
∴

CE

DE

=

DE

DP

∴

t

5 t

=

5 t

6- 3 2 t

解得：t=

12

13

当∠DPE=90°时，如图2，
CE=DP
∴t=6-

3

2

t
解得：t=

12

5

∴当t=

12

13

或

12

5

时，△PDE的外心恰好在它的一条边上．

（3）存在；
如图3，设AB的中点为O，过点O作OM⊥BC交EE′于点N，ON=3-t，NE′=4t-4，
在Rt△ONE中，ON²+NE²=OE²
∴（3-t）²+（4t-4）²=25
解得：t=0（舍去），t=

38

17

点评：本题考查了相似三角形的综合知识，特别是题目中多次用到的利用相似三角形的对应边成比例得到有关时间t的方程，充分体现了方程思想，能有机的和中考题结合起来．