题目内容

【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交线段BC,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为F,线段FD,AB的延长线相交于点G.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若CF=1,DF= ,求图中阴影部分的面积.

【答案】
(1)证明:连接AD、OD,如图所示.

∵AB为直径,

∴∠ADB=90°,

∴AD⊥BC,

∵AC=AB,

∴点D为线段BC的中点.

∵点O为AB的中点,

∴OD为△BAC的中位线,

∴OD∥AC,

∵DF⊥AC,

∴OD⊥DF,

∴DF是⊙O的切线.


(2)解:在Rt△CFD中,CF=1,DF=

∴tan∠C= = ,CD=2,

∴∠C=60°,

∵AC=AB,

∴△ABC为等边三角形,

∴AB=4.

∵OD∥AC,

∴∠DOG=∠BAC=60°,

∴DG=ODtan∠DOG=2

∴S阴影=SODG﹣S扇形OBD= DGOD﹣ πOB2=2 π.


【解析】(1)连接AD、OD,由AB为直径可得出点D为BC的中点,由此得出OD为△BAC的中位线,再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF,从而证出DF是⊙O的切线;(2)CF=1,DF= ,通过解直角三角形得出CD=2、∠C=60°,从而得出△ABC为等边三角形,再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积.

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