Question

【题目】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30°②③④，正确的个数是______________

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；

②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=和OB的长，可得BD的长；③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理及直角三角形30°角的性质可作判断.

解：①∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=BE=1，

∵BC=2，

∴EC=1，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ACE，

∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，

∴∠ACE=30°，

∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACE=30°，

故①正确；

②∵BE=EC，OA=OC，

∴OE=AB=，OE∥AB，

∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，

Rt△EOC中，OC=，

∴OA=OC=,

Rt△OAB中，OB=，

∴BD=2OB=，

故②正确；

③由②知：∠BAC=90°，

∴SABCD=ABAC，

故③正确；

④由②知：OE是△ABC的中位线，

∴OE=AB，

∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，

∴AB=BC=AD,

∴,

故④正确；

本题正确的有：①②③④,4个，

故答案为：①②③④.