题目内容
（2013•本溪）如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2（点O，B2，A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是| 1 |
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分析：由于点B1是△OBA两条中线的交点，则点B1是△OBA的重心，而△OBA是等边三角形，所以点B1也是△OBA的内心，∠BOB1=30°，∠A1OB=90°，由于每构造一次三角形，OBi 边与OB边的夹角增加30°，所以还需要（360-90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合；又因为任意两个等边三角形都相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，由△OB1A1与△OBA的面积比为
，求得构造出的最后一个三角形的面积．
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解答：
解：∵点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，
∴点B1是△OBA的重心，也是内心，
∴∠BOB1=30°，
∵△OB1A1是等边三角形，
∴∠A1OB=60°+30°=90°，
∵每构造一次三角形，OBi 边与OB边的夹角增加30°，
∴还需要（360-90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合，
∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10．
如图，过点B1作B1M⊥OB于点M，
∵cos∠B1OM=cos30°=
=
，
∴
=
=
=
，即
=
，
∴
=（
）2=
，即S△OB1A1=
S△OBA=
，
同理，可得
=（
）2=
，即S△OB2A2=
S△OB1A1=（
）2=
，
…，
∴S△OB10A10=
S△OB9A9=（
）10=
，即构造出的最后一个三角形的面积是
．
故答案为
．
解：∵点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，∴点B1是△OBA的重心，也是内心，
∴∠BOB1=30°，
∵△OB1A1是等边三角形，
∴∠A1OB=60°+30°=90°，
∵每构造一次三角形，OBi 边与OB边的夹角增加30°，
∴还需要（360-90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合，
∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10．
如图，过点B1作B1M⊥OB于点M，
∵cos∠B1OM=cos30°=
| OM |
| OB1 |
| ||
| 2 |
∴
| OB |
| OB1 |
| 2OM |
| OB1 |
2
| ||
| 2 |
| 3 |
| OB1 |
| OB |
| 1 | ||
|
∴
| S△OB1A1 |
| S△OBA |
| OB1 |
| OB |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
同理，可得
| S△OB2A2 |
| S△OB1A1 |
| OB2 |
| OB1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
…，
∴S△OB10A10=
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| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
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| 1 |
| 310 |
故答案为
| 1 |
| 310 |
点评：本题考查了等边三角形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等知识，有一定难度．根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出△OB1A1与△OBA的面积比为
，进而总结出规律是解题的关键．
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练习册系列答案
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