Question

（2013•本溪）如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm
（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

Answer 1

分析：（1）连结OD，根据圆周角定理得∠ABD=∠ACD=45°，∠ADB=90°，可判断△ADB为等腰直角三角形，所以OD⊥AB，而DE∥AB，则有OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；
（2）先由BE∥AD，DE∥AB得到四边形ABED为平行四边形，则DE=AB=8cm，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式利用S_阴影部分=S_梯形BODE-S_扇形OBD
进行计算即可．

解答：解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：
连结OD，BD，则∠ABD=∠ACD=45°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∵点O为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE为⊙O的切线；

（2）∵BE∥AD，DE∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴DE=AB=8cm，
∴S_阴影部分=S_梯形BODE-S_扇形OBD
=

1

2

（4+8）×4-

90•π•42

360

=（24-4π）cm²．

点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．